domingo, 2 de febrero de 2014

TABLAS DE VERDAD

TABLAS DE VERDAD Y SU CONSTRUCCIÓN

OBJETIVOS: Definir el valor de verdad.
En lógica un valor de verdad es un valor que indica en que medida una proposición es verdad.

Una proposición simple es;

Valor de verdad: Cuando construimos una proposición compuesta es necesario tomar en cuenta todas las posibles combinaciones que se generan a partir de los diferentes valores que adoptan cada una de las proposiciones simples que la componen.

La tabla de verdad esta compuesta por filas y columnas. El numero de filas depende del numero de proposiciones simples a trabajar, y esta dado por la siguiente expresión.

FILAS 2ⁿ; 2³= 8

Y se llenan las columnas con los diferentes valores de verdad que trata cada proposición.

CONJUNCIÓN: "X es un numero impar y primo" Debemos escoger un numero que cumpla con ambas restricciones.

Si escogemos a:

Conjunción

En este caso la tabla de verdad la construimos de la siguiente manera.

P ^ Q = 0

¬P ^ Q = 1

P^¬ Q = 0

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA : Una fórmula disyuntiva exclusiva es verdadera solo cuando sus variables son diferentes, en otro caso es falsa.

El operador lógico disyunción exclusiva nos dice que dadas dos proposicionesa y b, obtenemos un valor verdadero al aplicar el operador sí y solamente sí.

ejemplo:

CONDICIONAL: La consecuente es la única falsa

Q → P = ┘→ 0 = 0

BICONDICIONAL: Es falsa si las 2 proposiciones tienen valores diferentes y es verdadera cuando tienen los mismos valores.

Todo individuo debe exigir sus derechos si y solo si cumple sus obligaciones.

MATEMÁTICA LÓGICA

LÓGICA MATEMÁTICAS

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
EN QUE SE DIVIDE:
La lógica matemática suele dividirse en cuatro teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus lógico-philosophicus, publicado en 1921.
EJEMPLO:

Verdadero

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

Falso

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.a asignar a sus componentes.
Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

$\begin{array}{|c||c|} A & A \\ \hline V & V \\ F & F \\ \hline \end{array}$

Negación

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

$\begin{array}{|c||c|} A & \neg A \\ \hline V & F \\ F & V \\ \hline \end{array}$

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \and B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \or B \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \to B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

SIMBOLIZACION DE CONECTORES LOGICOS

SIMBOLIZACION DE CONECTORES

OBJETIVO: Utiliza la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo, sin analizar sus valores de verdad.

Son operadores lógicos los siguientes:

CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
NEGACIÓN
CONDICIONAL
BICONDICIONAL

CONJUNCIÓN: Es la unión de dos proposiciones con la palabra "y" se denomina conjunción.

ejemplo: Sus ojos son azules y los ojos de su hermano también son azules.

Es también útil introducir un símbolo para "y" , los mas comunes son:

(^) y (&)

DISYUNCIÓN: Es la unión de la proposiciones con la palabra "o", se denomina disyunción de las proposiciones.

ejemplo: " Esta es el aula cuatro o es una aula de física "

El símbolo que utilizamos para la disyunción es : (v), (F) o (R)

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Utilizamos el mismo ejemplo, si utilizamos la misma proposición.

Sea F la proposición " Esta es el aula cuatro"

y sea R la proposición " Esta es un aula de física"

NEGACIÓN: Cuando a una proposición se le añade el termino de enlace

"no", el resultado se denomina negación de la proposición. Así una negación es una proposición compuesta que utiliza el conector lógico "no". El termino de enlace "no" es análogo a los otros conectores lógicos puesto que forman proposiciones compuestas .

ejemplo: "Las elecciones presidenciales no siempre terminan en agonía"

se lo simboliza: ¬ ~ la proposición del ejemplo queda simbolizada como ¬ (p) y ~ (p).

CONDICIONAL: La palabra "si" procede a la primera proposición, y la palabra "entonces" procede a la segunda proposición.

Se lo simboliza: así ← La primera proposición simple es "llueve hoy" y
la segunda proposición simple es "se suspende el picni".
Para poder simbolizar completamente esta proposición condicional, emplearemos el símbolo siguiente para el conector lógico.

¬p → Q

Si hoy no es lunes entonces Pedro sabe matemáticas

(s^¬ Q) →p

Si Ruth tiene 18 años y Pedro no sabe matemáticas entonces es lunes.

BICONDICIONAL: Cuando se unen dos proposiciones mediante las palabras : " ...si y solo si.." se encuentran entre dos proposiciones simples. El signo aparece como 2 signos condicionales que van en sentido opuesto. Efectivamente, una proposición bicondicional se parece extraordinariamente a 2 proposiciones condicionales.

ejemplo: " Estos campos se inundan si y solo si el agua alcanza esta altura". Se escogen las letras mayúsculas para las proposiciones simples.

p= "Estos campos se inundan"

pq

q= " El agua alcanza esta altura"

Ahora vemos que es equivalente a tener:

domingo, 15 de diciembre de 2013

Videos

1) Factorar un Monomio:

En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b

2) Factor Común Monomio:

En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a ( a + 2 )

3) Factor Común Polinomio:

x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio

x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )

4) Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo

ax + bx + ay + by =

[ax + bx] + [ay + by]

Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)

Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio

x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)

5) Trinomio Cuadrado Perfecto

a² ± 2ab + b² = (a + b)²

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino

Factorar: m² + 6m + 9

m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3

➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]

➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado

(m + 3)²

Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²

➌ Ahora aplica la Regla del TCP

(m + 3)²

El Cuadrado del 1er Termino = m²

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9

➍ Junta los Términos

m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla

6) Diferencia de Cuadrados Perfectos:

a² - b² = (a - b) (a + b)

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)

a² - b² = (a - b) (a + b)

4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)

7) Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c²

Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)

[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis

(a + b + c) (a + b – c)

8) Trinomio de la Forma;

x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12

➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio

(x.......) (x.......)

➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis

(x + 4)(x + 3)

Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)

9 ) Trinomio de la Forma;

ax² + bx + c

Factorar 6x² - x – 2 = 0

Pasos:

➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación

6x² - x – 2

36x² - [ 6 ] x – 12

➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente

(6x.......) (6x.......)

➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]

➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]

- 4 + 3 = - 1

[ - 4] [ 3 ] = - 12

➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis

(6x - 4) (6x - 3)

➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos

(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)

Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)

10 Suma o Diferencia de Cubos:

a³ ± b³

Suma de Cubos:
============

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]

Diferencia de Cubos:
==============

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]

domingo, 1 de diciembre de 2013

ECUACIONES CON RADICALES

Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes pasos:

1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.

2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre si

(depende del indice de la raíz involucrada).

3. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene

uno o mas radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se

resuelve esta ultima ecuación.

4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las

raíces extraías.

El proceso de liberar la ecuación de radicales se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.

Ejemplo

Resolver:

APLICACION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

APLICACIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

Resolución:

1. Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x.

2. Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2.

3. El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168. Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

4. 2x(2x + 2) = 168

4x² + 4x - 168 = 0.

5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta x² + x - 42 = 0.

6. Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14

Una solución es 12 y 14.

7. Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.

El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.

EJERCICIO DE CUADRÁTICA EN VIDA COTIDIANA

EJERCICIO DE CUADRÁTICA EN VIDA COTIDIANA

Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba, la altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros en función del tiempo medido en segundos se calcula atreves de la siguiente formula.

H(t)= -5x^{2 +}20t + 0

A= 5

B=20

C=0

EJE DE SIMETRIA Y VERTICE