MATEMÁTICA LÓGICA
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LÓGICA MATEMÁTICAS
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
EN QUE SE DIVIDE:
La lógica matemática suele dividirse en cuatro teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
TABLAS DE VERDAD
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus lógico-philosophicus, publicado en 1921.
EJEMPLO:
LÓGICA MATEMÁTICAS
EN QUE SE DIVIDE:
La lógica matemática suele dividirse en cuatro teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
TABLAS DE VERDAD
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus lógico-philosophicus, publicado en 1921.
EJEMPLO:
Verdadero
El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.
Falso
El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.a asignar a sus componentes.
Variable
Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:
Negación
La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.
- Conjunción
- La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:
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Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.-
- Conjunción
- La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:
El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.
Falso
Falso
Variable
Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:
Negación
La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.
Disyunción
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.
- La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.
Implicación o Condicional
El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:
Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:
SIMBOLIZACION DE CONECTORES LOGICOS
SIMBOLIZACION DE CONECTORES
OBJETIVO: Utiliza la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo, sin analizar sus valores de verdad.
Son operadores lógicos los siguientes:
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
NEGACIÓN
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
CONJUNCIÓN: Es la unión de dos proposiciones con la palabra "y" se denomina conjunción.
ejemplo: Sus ojos son azules y los ojos de su hermano también son azules.
Es también útil introducir un símbolo para "y" , los mas comunes son:
(^) y (&)
DISYUNCIÓN: Es la unión de la proposiciones con la palabra "o", se denomina disyunción de las proposiciones.
ejemplo: " Esta es el aula cuatro o es una aula de física "
El símbolo que utilizamos para la disyunción es : (v), (F) o (R)
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Utilizamos el mismo ejemplo, si utilizamos la misma proposición.
Sea F la proposición " Esta es el aula cuatro"
y sea R la proposición " Esta es un aula de física"
NEGACIÓN: Cuando a una proposición se le añade el termino de enlace
"no", el resultado se denomina negación de la proposición. Así una negación es una proposición compuesta que utiliza el conector lógico "no". El termino de enlace "no" es análogo a los otros conectores lógicos puesto que forman proposiciones compuestas .
ejemplo: "Las elecciones presidenciales no siempre terminan en agonía"
se lo simboliza: ¬ ~ la proposición del ejemplo queda simbolizada como ¬ (p) y ~ (p).
CONDICIONAL: La palabra "si" procede a la primera proposición, y la palabra "entonces" procede a la segunda proposición.
Se lo simboliza: 
así ← La primera proposición simple es "llueve hoy" y
la segunda proposición simple es "se suspende el picni".
Para poder simbolizar completamente esta proposición condicional, emplearemos el símbolo siguiente para el conector lógico.
¬p → Q
Si hoy no es lunes entonces Pedro sabe matemáticas
(s^¬ Q) →p
Si Ruth tiene 18 años y Pedro no sabe matemáticas entonces es lunes.
BICONDICIONAL: Cuando se unen dos proposiciones mediante las palabras : " ...si y solo si.." se encuentran entre dos proposiciones simples. El signo aparece como 2 signos condicionales que van en sentido opuesto. Efectivamente, una proposición bicondicional se parece extraordinariamente a 2 proposiciones condicionales.
ejemplo: " Estos campos se inundan si y solo si el agua alcanza esta altura". Se escogen las letras mayúsculas para las proposiciones simples.
p= "Estos campos se inundan"
p
q
q= " El agua alcanza esta altura"
Ahora vemos que es equivalente a tener:
SIMBOLIZACION DE CONECTORES
OBJETIVO: Utiliza la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo, sin analizar sus valores de verdad.
Son operadores lógicos los siguientes:
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
NEGACIÓN
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
CONJUNCIÓN: Es la unión de dos proposiciones con la palabra "y" se denomina conjunción.
ejemplo: Sus ojos son azules y los ojos de su hermano también son azules.
Es también útil introducir un símbolo para "y" , los mas comunes son:
(^) y (&)
DISYUNCIÓN: Es la unión de la proposiciones con la palabra "o", se denomina disyunción de las proposiciones.
ejemplo: " Esta es el aula cuatro o es una aula de física "
El símbolo que utilizamos para la disyunción es : (v), (F) o (R)
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Utilizamos el mismo ejemplo, si utilizamos la misma proposición.
Sea F la proposición " Esta es el aula cuatro"
y sea R la proposición " Esta es un aula de física"
NEGACIÓN: Cuando a una proposición se le añade el termino de enlace
"no", el resultado se denomina negación de la proposición. Así una negación es una proposición compuesta que utiliza el conector lógico "no". El termino de enlace "no" es análogo a los otros conectores lógicos puesto que forman proposiciones compuestas .
ejemplo: "Las elecciones presidenciales no siempre terminan en agonía"
se lo simboliza: ¬ ~ la proposición del ejemplo queda simbolizada como ¬ (p) y ~ (p).
CONDICIONAL: La palabra "si" procede a la primera proposición, y la palabra "entonces" procede a la segunda proposición.
Se lo simboliza:
así ← La primera proposición simple es "llueve hoy" y la segunda proposición simple es "se suspende el picni".
Para poder simbolizar completamente esta proposición condicional, emplearemos el símbolo siguiente para el conector lógico.
¬p → Q
Si hoy no es lunes entonces Pedro sabe matemáticas
(s^¬ Q) →p
Si Ruth tiene 18 años y Pedro no sabe matemáticas entonces es lunes.
BICONDICIONAL: Cuando se unen dos proposiciones mediante las palabras : " ...si y solo si.." se encuentran entre dos proposiciones simples. El signo aparece como 2 signos condicionales que van en sentido opuesto. Efectivamente, una proposición bicondicional se parece extraordinariamente a 2 proposiciones condicionales.
ejemplo: " Estos campos se inundan si y solo si el agua alcanza esta altura". Se escogen las letras mayúsculas para las proposiciones simples.
p= "Estos campos se inundan"
pq
q
q= " El agua alcanza esta altura"
Ahora vemos que es equivalente a tener:
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