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 1) Factorar un Monomio:

En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b




 2) Factor Común Monomio:

En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a ( a + 2 )




3) Factor Común Polinomio:

x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio

x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )




 4) Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo

ax + bx + ay + by =

[ax + bx] + [ay + by]


Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)


Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio

x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)




 5) Trinomio Cuadrado Perfecto 

a² ± 2ab + b² = (a + b)²

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino


Factorar: m² + 6m + 9

m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3

➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]


➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado

(m + 3)²


Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²




➌ Ahora aplica la Regla del TCP

(m + 3)²

El Cuadrado del 1er Termino = m²

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9



➍ Junta los Términos

m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla






 6) Diferencia de Cuadrados Perfectos:

 a² - b² = (a - b) (a + b)

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)

a² - b² = (a - b) (a + b)


4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)





 7) Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c²


Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)


[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis


(a + b + c) (a + b – c)






 8) Trinomio de la Forma; 

x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12


➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio

(x.......) (x.......)



➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12



➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis

(x + 4)(x + 3)



Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)





 9 ) Trinomio de la Forma;

 ax² + bx + c

Factorar 6x² - x – 2 = 0

Pasos:

➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación

6x² - x – 2

36x² - [ 6 ] x – 12



➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente

(6x.......) (6x.......)



➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]


➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]

- 4 + 3 = - 1

[ - 4] [ 3 ] = - 12



➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis

(6x - 4) (6x - 3)



➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos

(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)


Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)




 10 Suma o Diferencia de Cubos:

 a³ ± b³


Suma de Cubos:
============

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)


Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)


El cuadrado del 1er termino, [ a² ]


[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]


[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]






Diferencia de Cubos:
==============

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)


Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)


El cuadrado del 1er termino, [ a² ]


[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]


[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]

ECUACIONES CON RADICALES

ECUACIONES CON RADICALES

Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes pasos:

1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos.

2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre si

(depende del indice de la raíz involucrada).

3. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene

uno o mas radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se

resuelve esta ultima ecuación.

4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las

raíces extraías.

El proceso de liberar la ecuación de radicales se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.

Ejemplo

Resolver:

APLICACION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

APLICACION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

APLICACIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

 

Resolución:

 

1. Cualquier número par puede expresarse en la forma   2x.

 

2. Sea pues   2x   un número par. El par consecutivo de  2x  es  2x + 2.

 

3. El producto de los dos números es 168:  2x(2x + 2) = 168.  Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

 

4. 2x(2x + 2) = 168 

    4x² + 4x - 168 = 0.

 

5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta   x² + x - 42 = 0.

 

  

 

 

6. Si  x = 6,  2x + 2 = 12 + 2 = 14

 

Una solución es 12 y 14.

 

7. Si  x = -7,  2x + 2 = -14 + 2 = -12

 

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son  -14 y -12.

 

El problema tiene dos soluciones:  12 y 14; -12 y -14.

EJERCICIO DE CUADRÁTICA EN VIDA COTIDIANA

EJERCICIO DE CUADRÁTICA EN VIDA COTIDIANA

EJERCICIO DE CUADRÁTICA EN VIDA COTIDIANA

Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba, la altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros en función del tiempo medido en segundos se calcula atreves de la siguiente formula. 

H(t)= -5x^{2 +}  20t + 0

A= 5

B=20

C=0

EJE DE SIMETRIA Y VERTICE

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: 

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

f(x) = x2
f(x) = -x2

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

                                                                                                                        Jueves 21/11/2013

Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

Se resuelve la ecuación.

El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

                                                                                                                               

PRESENTACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

                                                                                     LUNES 18/11/2013                        

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación 

                                                                                                                              Miércoles 20/11/2013

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

Se resuelve la ecuación.

 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO.

                                                                                                                                   Martes 19/11/2013      

FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función polinomio de primer grado, es decir , una función cuya representación en el plano cartesiano es una linea recta. Esta función se puede escribir como; donde ( m y b ) son constantes reales; ( y, x )es una variable real. 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1.Se despeja la función.

2.Se constituye una tabla de colores, basta con dos planos.

3.Se unen los puntos por una linea recta, prolongándola de tal modo que este representada en todo el plano.

Hasta ahora sabíamos representar las funciones elementales utilizando las propiedades de estas, pero ya estamos en condiciones de representar cualquiera.

Se las puede representar siguiendo estos pasos:

1.Dominio

2.Punto de corte en los ejes

3.Signo de la función

4.Asintonas y ramas infinitas 

5.Monotonía y extremos relativos

6.Curvatura y puntos de inflexión

EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICA.

Vemos la siguiente expresión:




Observamos los denominadores y sacamos el m.c.m.




Resolvemos las operaciones y nos queda una expresion algebraica.








Separamos los valores en función a la incognita en el lado izquierdo.




Pasamos los valores enteros dejando en la izquierda valores con "x".









Dejamos libre la incognita y vemos si se puede simplificar.





Simplificamos y obtenemos el resultado final.

Corrección del deber                                  13/11/2013

Lección en clase                                              13/112013

Corrección del deber                               14/11/2013      

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

la igualdad se cumple si y sólo si x vale 2, por lo tanto es una ecuación.

En la caso de

la igualdad se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto no es una ecuación. En este caso de trata de una identidad. La identidad también es una igualdad entre dos expresiones algebraicas al igual que una ecuación, pero que se verifica para cualquier valor.

Las igualdades de los productos y cocientes notables, estudiadas en el capítulo anterior, son identidades

Ecuaciones literales.

Objetivos:

• Definir y ejemplificar cómo se resuelve una ecuación literal.
• Describir los pasos a seguir en la resolución de ecuaciones literales.

        Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras. Dichas cantidades conocidas por lo general se representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c... y las incógnitas con las letras finales x, y, z.

Ejemplo:

ax – ad = bd – bx

Solución:

ax + bx = bd + ad

x (a +b) = (b + a) d

x = d

Ecuaciones fraccionarias

Para resolver ecuaciones fraccionarias o racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.


Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

Producto Notable

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Cubo de la diferencia de dos monomios 

El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el cuadrado del segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Desarrollar 

SOLUCIÓN:  Cubo del primer número: 

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 

Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 

Cubo del segundo número: 

Así pues