Matematicas

LOS CONJUNTOS....... CLASES RECUPERACION

¿Qué es Conjunto?

* Un conjunto es una colección de objetos considerada como un todo.

* Los objetos de un conjunto son llamados elementos o miembros de un conjunto.

* Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

* Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc.

ejemplo: V ={ a, e, i, o, u } P ={ mercurio, venus }

un conjunto con cinco elementos.

*Un conjunto no posee elementos repetidos.

RELACIÓN PERTENENCIA

ejemplo:

a ϵ v ( a pertenece a v )

b $\notin$ v( b no pertenece a v )

FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO

Para indicar un conjunto se utilizan llaves.

CONJUNTO VACÍO: -Es aquel que no contiene elementos.

-Representación: $\emptyset$ o { }

ejemplo: B ={ x/x EN^2x=1 }

B es un conjunto que no contiene elementos dado que ningún número natural multiplicado por 2 puede dar como resultado 1.

B ={ }

B = $\emptyset$

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

* Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un conjunto.

ejemplo:

La cardinalidad de A ={ x/x es una vocal } es 5

La cardinalidad de M ={ x/x es un mes del año } es 12

IGUALDAD DE CONJUNTOS

* Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos o si ambos son vacíos.

* Dados los conjuntos

A ={ O, 3 } A =B A ={ 0, 3 }

B ={ x/x (x-3) =0 } A =C B ={ 0, 3 }

C ={ x/x (x-3)(x-1) =10 } C ={ 0, 1, 3 }

SUBCONJUNTO DE UN CONJUNTO

* Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es tambien elemento de A, decimos que:

- B es un subconjunto de A

- B es una parte de A

- B está incluido A

Esto se simboliza como B $\subset$ A

SÍMBOLOS

MATEMÁTICAS

Mas ejemplos de tablas de verdad

(p → q)^(q → r)→(p → r)

(p → q)^p → q

(p → q)^q → q

┐(p^q)↔ ┐p ^ ┐q

*Enuncie cada proposición en forma de proposición condicional.

a) María será una buena estudiante sólo si estudia mucho.
b) Juan puede cursar cálculo sólo si está en su segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura.
c) Cuando cantas, me duelen los oídos.

Resolución.-

a) Si María estudia mucho entonces será una buena estudiante.
b) Si Juan cursa cálculo, entonces está en segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura.
c) Si cantas entonces me duelen los oídos.

TAUTOLOGICAS - CONTRADICCIONES - CONTINGENCIA

DEFINICIÓN

Una formula (f)se dice tautologia si para cualquier interpretación conjunto de letras proporcionales, su significado valor de verdad es (v) se dice contradicción, si para cualquier interpretación su significado es (f) y se dice contingencia si no es tautologia y contradicción.

solución:

Entonces (f) es tautologia

SE LAS RECONOCE DE LA SIGUIENTE FORMA:

Entonces f es contingencia

EQUIVALENCIAS DE NEGACIÓN

P: josy tiene 20 años

Q: josy vive en milagro

p^q

josy tiene 20 años o vive en milagro (v)

Fatima no tiene 20 años y no vive en naranjito (f)

2._ Joselyn es bonita (v)

Jonny tiene moto (v)

p ^ q → Joselyn es bonita y Johnny tiene moto (v)

¬ (p ^ q) = ¬ p v ¬ q

3._ P: La UNEMI tiene categoría B

Q: La UNEMI tiene estudiantes sobresalientes

p → q

Si la UNEMI tiene categoría B entonces tiene estudiantes sobresalientes.

¬(p→q) = p^¬q

La UNEMI tiene categoría B y no tiene estudiantes sobresalientes.

CONTRA RECIPROCO

Si la UNEMI no tiene estudiantes sobresalientes entonces no tiene categoría B.

P: Vanesa es risueña (v)

Q: Rebeca ama a Diego (v)

P → Q

Si Vanesa es risueña entonces Rebeca ama a Diego

Si Rebeca no ama a Diego entonces Vanesa no es risueña

DOBLE IMPLICACIÓN

Vanesa no es risueña o Rebeca ama a Diego

P: Hoy es miércoles

Q: Hoy tengo clase de matemáticas

Hoy es miércoles si y solo si tengo clase de matemáticas.

Si hoy es miércoles entonces tengo clases de matemáticas y si tengo clases de matemáticas entonces hoy es miércoles.

┐q →┐p = q ^ ┐p (v y f)

EQUIVALENCIAS

TABLAS DE VERDAD

TABLAS DE VERDAD Y SU CONSTRUCCIÓN

OBJETIVOS: Definir el valor de verdad.
En lógica un valor de verdad es un valor que indica en que medida una proposición es verdad.

Una proposición simple es;

Valor de verdad: Cuando construimos una proposición compuesta es necesario tomar en cuenta todas las posibles combinaciones que se generan a partir de los diferentes valores que adoptan cada una de las proposiciones simples que la componen.

La tabla de verdad esta compuesta por filas y columnas. El numero de filas depende del numero de proposiciones simples a trabajar, y esta dado por la siguiente expresión.

FILAS 2ⁿ; 2³= 8

Y se llenan las columnas con los diferentes valores de verdad que trata cada proposición.

CONJUNCIÓN: "X es un numero impar y primo" Debemos escoger un numero que cumpla con ambas restricciones.

Si escogemos a:

Conjunción

En este caso la tabla de verdad la construimos de la siguiente manera.

P ^ Q = 0

¬P ^ Q = 1

P^¬ Q = 0

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA : Una fórmula disyuntiva exclusiva es verdadera solo cuando sus variables son diferentes, en otro caso es falsa.

El operador lógico disyunción exclusiva nos dice que dadas dos proposicionesa y b, obtenemos un valor verdadero al aplicar el operador sí y solamente sí.

ejemplo:

CONDICIONAL: La consecuente es la única falsa

Q → P = ┘→ 0 = 0

BICONDICIONAL: Es falsa si las 2 proposiciones tienen valores diferentes y es verdadera cuando tienen los mismos valores.

Todo individuo debe exigir sus derechos si y solo si cumple sus obligaciones.

MATEMÁTICA LÓGICA

LÓGICA MATEMÁTICAS

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
EN QUE SE DIVIDE:
La lógica matemática suele dividirse en cuatro teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.

La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus lógico-philosophicus, publicado en 1921.
EJEMPLO:

Verdadero

El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

Falso

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.a asignar a sus componentes.
Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

$\begin{array}{|c||c|} A & A \\ \hline V & V \\ F & F \\ \hline \end{array}$

Negación

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

$\begin{array}{|c||c|} A & \neg A \\ \hline V & F \\ F & V \\ \hline \end{array}$

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \and B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.

Disyunción

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \or B \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

$\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \to B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}$

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.

SIMBOLIZACION DE CONECTORES LOGICOS

SIMBOLIZACION DE CONECTORES

OBJETIVO: Utiliza la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo, sin analizar sus valores de verdad.

Son operadores lógicos los siguientes:

CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
NEGACIÓN
CONDICIONAL
BICONDICIONAL

CONJUNCIÓN: Es la unión de dos proposiciones con la palabra "y" se denomina conjunción.

ejemplo: Sus ojos son azules y los ojos de su hermano también son azules.

Es también útil introducir un símbolo para "y" , los mas comunes son:

(^) y (&)

DISYUNCIÓN: Es la unión de la proposiciones con la palabra "o", se denomina disyunción de las proposiciones.

ejemplo: " Esta es el aula cuatro o es una aula de física "

El símbolo que utilizamos para la disyunción es : (v), (F) o (R)

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Utilizamos el mismo ejemplo, si utilizamos la misma proposición.

Sea F la proposición " Esta es el aula cuatro"

y sea R la proposición " Esta es un aula de física"

NEGACIÓN: Cuando a una proposición se le añade el termino de enlace

"no", el resultado se denomina negación de la proposición. Así una negación es una proposición compuesta que utiliza el conector lógico "no". El termino de enlace "no" es análogo a los otros conectores lógicos puesto que forman proposiciones compuestas .

ejemplo: "Las elecciones presidenciales no siempre terminan en agonía"

se lo simboliza: ¬ ~ la proposición del ejemplo queda simbolizada como ¬ (p) y ~ (p).

CONDICIONAL: La palabra "si" procede a la primera proposición, y la palabra "entonces" procede a la segunda proposición.

Se lo simboliza: así ← La primera proposición simple es "llueve hoy" y
la segunda proposición simple es "se suspende el picni".
Para poder simbolizar completamente esta proposición condicional, emplearemos el símbolo siguiente para el conector lógico.

¬p → Q

Si hoy no es lunes entonces Pedro sabe matemáticas

(s^¬ Q) →p

Si Ruth tiene 18 años y Pedro no sabe matemáticas entonces es lunes.

BICONDICIONAL: Cuando se unen dos proposiciones mediante las palabras : " ...si y solo si.." se encuentran entre dos proposiciones simples. El signo aparece como 2 signos condicionales que van en sentido opuesto. Efectivamente, una proposición bicondicional se parece extraordinariamente a 2 proposiciones condicionales.

ejemplo: " Estos campos se inundan si y solo si el agua alcanza esta altura". Se escogen las letras mayúsculas para las proposiciones simples.

p= "Estos campos se inundan"

pq

q= " El agua alcanza esta altura"

Ahora vemos que es equivalente a tener:

domingo, 2 de febrero de 2014